ECUACIONES SIMULTANEAS
Ecuaciones Simultáneas son dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Ejemplo: La ecuaciones x + y = 5 ; x – y = 1, son simultáneas porque x =3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones.
Sustituyendo el valor de “x”, y el valor de “y” en las ecuaciones se verifica el resultado.
x + y = 5 –> 3 + 2 = 5
x – y = 1 –> 3 – 2 = 1
Sistema de Ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos ó más incógnitas.
2x +3y = 13 ; 3x -y = 5 es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Para la resolución de un sistema de ecuaciones simultáneas de esta clase, es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas, una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación.
Los Métodos de Eliminación para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas de 1° grado con dos incógnitas son:
Método de eliminación por igualación:
Procedimiento:
1) Se despeja cualquiera de las incógnitas de la primera ecuación.
2) Se despeja la misma incógnita en la segunda ecuación.
3) Se forma una igualdad poniendo en un miembro el resultado de la primera ecuación y en el otro miembro el resultado de la segunda ecuación.
4) El resultado de la igualdad que formamos nos dará una sola ecuación con una incógnita.
5) Procedemos a despejar la incógnita de esta nueva ecuación.
6) Sabiendo el resultado de una de las incógnitas, sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.
7) Si quieres verificar o porque te lo piden en la tarea; sustituye el valor de las incógnitas en las dos ecuaciones originales y verás que ambas se convierten en identidad.
Ejercicios:
1) Resolver
x +6y = 27
7x -3y = 9
>> Despejando x en x+6y = 27
x = 27-6y
>> Despejando x en 7x-3y = 9
x = 9+3y/7
>> Formando una igualdad con los valores de x
27-6y = 9+3y/7 (Nueva ecuación)
>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de “y”
7(27-6y) = 1(9+3y)
189-42y = 9+3y
-42y-3y = 9-189
-45y = -180
y = -180/-45
y = 4 <– Solución
>> Sustituyendo valor de “y” en la 1° ecuación original
x +6y = 27
x +6(4) = 27
x = 27-24
x = 3 <– Solución.
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2) Resolver 3x -2y = -2 , 5x +8y = -60
>> Despejando x en 3x -2y = -2
x = -2+2y/3
>> Despejando x en 5x+8y = -60
x = -60-8y/5
>> Formando igualdad con los valores de x obtenidos:
-2+2y/3 = -60-8y/5 (Nueva ecuación)
>> Resolviendo la nueva ecuación para encontrar el valor de “y”:
5(-2+2y) = 3(-6o-8y)
-10+10y = -180-24y
10y+24y = -180+10
34y = -170
y= -170/34
y = -5 <– Solución.
>> Sustituyendo valor de “y” en la 1° ecuación original:
3x -2y = -2
3x-2(-5) = -2
3x+10 = -2
x = -2-10/3
x = -12/3 = -4 <– Solución.
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3) Resolver 3x+5y = 7 , 2x-y= -4
>>Despejando x en 3x+5y = 7
x = 7-5y/3
>> Despejando x en 2x-y = -4
x = -4+y/2
>> Formando igualdad con los valores de x obtenidos:
7-5y/3 = -4+y/2 (nueva ecuación)
>> Resolviendo nueva ecuación para encontrar valor de “y”:
2(7-5y) = 3(-4+y)
14-10y = -12+3y
-10y-3y = -12-14
-13y = -26
y = -26/-13
y = 2
>> Sustituyendo valor de “y” en la 1° ecuación original:
3x+5y = 7
3x+5(2) = 7
3x+10 = 7
x = 7-10/3
x = -1 <– Solución.
Método de eliminación por sustitución:
Procedimiento:
1) Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones dadas, para eliminar una de las incógnitas.
2) El valor encontrado se sustituye en la otra ecuación, y tendremos una ecuación con una sola incógnita.
3) Se resuelve la ecuación con una incógnita para encontrar el valor de la incógnita.
4) Se sustituye el valor de la incógnita encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales dadas, para encontrar el valor de a otra variable.
5) Se verifica el valor de las variables encontradas, en las dos ecuaciones originales dadas, y ambas se convierten en identidad.
Ejercicios:
1) Resolver x+3y = 6 , 5x-2y = 13
>> Despejando x en x+3y = 6
x = 6-3y
>> Sustituyendo el valor de x en
5x-2y = 13
5(6-3y) -2y = 13
30-15y -2y = 13
30-17y = 13
y = 13-30/-17
y = -17/-17
y = 1 <– Solución.
>> Sustituyendo el valor de “y”, en 5x-2y = 13
5x-2(1) = 13
5x-2 = 13
x = 13+2/5
x = 15/5
x = 3 <– Solución.
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2) Resolver 5x+7y = -1 , -3x+4y = -24
>> Despejando x en 5x+7y = -1
x = -1-7y/5
>> Sustituyendo el valor de x en -3x+4y = -24
-3(-1-7y/5) +4y = -24
(3+21y)/5 +4y = -24
3+21y+20y = -120
41y = -120-3
y = -123/41
y = -3 <– Solución.
>> Sustituyendo el valor de “y” en 5x+7y = -1
5x +7(-3) = -1
5x -21 = -1
x = -1+21/5
x = 4 <– Solución.
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3) Resolver 4y+3x = 8 , 8x-9y = -77
>> Despejando x en 4y+3x = 8
x = 8-4y/3
>> Sustituyendo el valor de x en 8x-9y = -77
8(8-4y/3) -9y = -77
(64-32y)/3 -9y = -77
64-32y-27y = -231
-59y = -231-64
y = -295/-59
y = 5 <– Solución.
>> Sustituyendo el valor de “y” en 4y+3x = 8
4(5)+3x = 8
20+3x = 8
x = 8-20/3
x = -12/3
x = -4 <– Solución
Método de eliminación por igualación:
Procedimiento:
1) Se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas de las ecuaciones:
> Se busca el m.c.m. de los coeficientes y este se divide entre cada uno de los coeficientes y los cocientes que resulten serán los números por los cuales se deberán multiplicar cada una de las ecuaciones respectivamente.
2) Modificada una o las dos ecuaciones se procede a sumarlas, para eliminar una de la incógnitas de las ecuaciones, lo que nos dará como resultado el valor de la otra incógnita.
3) Se sustituyen el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones, para encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejercicios:
1) Resolver el sistema
6x-5y = – 9
4x+3y = 13
>> Igualamos los coeficientes de “y” en las dos ecuaciones:
El m.c.m. de 5 y 3 es 15 –> 15÷5 = 3 ; 15÷3 = 5
(3)(6x -5y= -9) sería igual a 18x-15y = -27
(5)(4x+3y=13) sería igual a 20x+15y = 65
>> La suma de las ecuaciones quedarían así:
18x -15y = -27
20x+15y = 65
38x = 38
x = 38/38
x = 1 <– Solución
>> Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:
4x+3y = 13
4(1)+3y = 13
4+3y = 13
y = 13-4/3
y = 9/3
y = 3 <– Solución.
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2) Resolver el sistema
7x-15y = 1
– x- 6y = 8
>> Igualando el coeficiente de x en la 2° ecuación.
(7)(-x-6y = 8) es igual a -7x-42y = 56
>>La suma de las ecuaciones quedaría así:
7x -15y = 1
-7x-42y = 56
….. -7y = 57
y = 57/-57
y = -1 <– Solución
>>sustituyendo el valor de “y” en la 2° ecuación original:
-x-6y = 8
-x-6(-1) = 8
-x +6 = 8
x = 8-6/-1
x = -2 <– Solución.
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3) Resolver el sistema
3x – 4y = 41
11x+6y = 47
>> Igualando los coeficiente de “y” en las dos ecuaciones:
El m.c.m. de 4 y 6 es 12 –> 12÷4 = 3 y 12÷6 = 2, entonces
(3)(3x-4y=41) es igual a 9x-12y = 123
(2)(11x+6y=47) es igual a 22x+12y = 94
>> La suma de las ecuaciones quedaría así:
9x – 12y = 123
22x+12y = 94
31x = 217
x = 217/31
x = 7 <– Solución
>>Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:
11x+6y = 47
11(7)+6y = 47
77+6y = 47
y = 47-77/6
y = -30/6
y = -5
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