Ir al contenido principal

Asintotas

 ASINTONTAS

Definicion:

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.
 Hay tres tipos de asíntotas:

 1Horizontales

2Verticales

3Oblicuas

Asintotas Horizontales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = k \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = k, }


entonces la recta {y = k} es una asíntota horizontal para la gráfica de {f(x)}


Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función

{f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}

Calculamos el límite cuando {x} tiende a {\infty}, para ello dividimos cada término del numerador y denominador por {x^2}
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 2 + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{x^2}} \\\\ & = & 2 \end{array}}




Así, la función posee una asíntota horizontal   {y = 2}

Asintotas Verticales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

{\displaystyle \lim_{x \to k^-} f(x) = \pm \infty \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to k^+} f(x) = \pm \infty, }

Entonces la recta {x = k} es una asíntota vertical para la gráfica de f(x)
Observemos que k son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales)
Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función 
{f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}
El dominio de la función es {D = \mathbb{R} - \{-1, 1\} }
Calculamos los límites laterales cuando {x} tiende a {-1}
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \infty \end{array}}
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^+} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\infty \end{array}}
Así, la función posee otra asíntota vertical   {x = 1}
Lo anterior se puede observar de la gráfica de la función
Gráfica de las asíntotas de la función 1














Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

LEY COSENO

LEY COSENO La  ley de los cosenos  es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La ley de los cosenos establece:    c  2  =  a  2  +  b  2  – (2  ab)  cos  C  . Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si  C  es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. La ley de los cosenos también puede establecerse como  b  2  =  a  2  +  c...
1 comentario
Leer más

SISTEMA CICLICO

SISTEMA  CÍCLICO En el sistema cíclico el ángulo unidad es el radian (rad) que es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia Se establece que 360°=2π rad. Por lo tanto 1 vuelta (360°)= 2π rad  .5 vuelta (180°) = π rad DE SISTEMA CÍCLICO A GRADOS Y VICEVERSA Se pueden realizar mediante regla de 3 basándonos siempre en que 180° es equivalente a π rad.                    
Publicar un comentario
Leer más

Funcion a trozos

 FUNCION A TROZOS Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas. Observa el siguiente ejemplo: Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x). Por ejemplo: O escrita la función de otra forma: Su gráfica sería: La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2. Las  funciones definidas a trozos  son  continuas  si son continuas en todo su dominio, es decir: La función es continua en los trozos donde está definida. La función es continua en...
Publicar un comentario
Leer más