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Asintotas

 ASINTONTAS

Definicion:

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.
 Hay tres tipos de asíntotas:

 1Horizontales

2Verticales

3Oblicuas

Asintotas Horizontales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = k \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = k, }


entonces la recta {y = k} es una asíntota horizontal para la gráfica de {f(x)}


Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función

{f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}

Calculamos el límite cuando {x} tiende a {\infty}, para ello dividimos cada término del numerador y denominador por {x^2}
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 2 + \frac{3}{x^2}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{x^2}} \\\\ & = & 2 \end{array}}




Así, la función posee una asíntota horizontal   {y = 2}

Asintotas Verticales

Si se satisface alguna de las siguientes dos condiciones

{\displaystyle \lim_{x \to k^-} f(x) = \pm \infty \ \ \ \text{ó} \ \ \ \lim_{x \to k^+} f(x) = \pm \infty, }

Entonces la recta {x = k} es una asíntota vertical para la gráfica de f(x)
Observemos que k son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales)
Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función 
{f(x) = \displaystyle \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}}
El dominio de la función es {D = \mathbb{R} - \{-1, 1\} }
Calculamos los límites laterales cuando {x} tiende a {-1}
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \infty \end{array}}
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \to -1^+} f(x) & = & \displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle -\infty \end{array}}
Así, la función posee otra asíntota vertical   {x = 1}
Lo anterior se puede observar de la gráfica de la función
Gráfica de las asíntotas de la función 1














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