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Funcion a trozos

 FUNCION A TROZOS

Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas. Observa el siguiente ejemplo:

Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Por ejemplo:

Expresión de una función definada a trozos

O escrita la función de otra forma:

Expresión de una función definada a trozos 2

Su gráfica sería:

Dibujo de una función definida a trozos.


La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:

  • La función es continua en los trozos donde está definida.
  • La función es continua en los puntos de división de los trozos.
Función definida a trozos continua en su dominio.

Ejemplo

Estudiar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función definida a trozos:

Fórmula de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1

O escrita de otra forma:

Fórmula de una función definida a trozos 2 para el estudio de la continuidad en el punto 1

Para ello, debemos estudiar la continuidad en los tres trozos, en los intervalos  (-∞,1) ,  [1,4]  y  (4,+∞) , y en los puntos de división x=1 y x=4.

Gráfica de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1

La función es continua en todos sus trozos, ya que f(x)=-x+2, f(x)=1 y f(x)=x-2 son funciones lineales, que son continuas en todo su dominio.

Veamos ahora que es continua en el punto x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:

La función es continua en todos sus trozos, ya que f(x)=-x+2, f(x)=1 y f(x)=x-2 son funciones lineales, que son continuas en todo su dominio.

Veamos ahora que es continua en el punto x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:

  • La función f existe en 1 y su imagen es:
    Existencia de imagen en la continuidad en el 1 de una función definida a trozos.
  • Existe el límite de f en el punto x = 1:
    Existencia del límite en la continuidad en el 1 de una función definida a trozos.
  • La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:
    Igualdad de la imagen y del límite en la continuidad en el 1 de una función definida a trozos.

Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.

Ahora veamos si es continua en el punto x=4

  • La función f existe en 4 y su imagen es:
    Existencia de imagen en la continuidad en el 4 de una función definida a trozos.
  • Veamos que no existe el límite de f en el punto x = 4:
    Existencia del límite en la continuidad en el 4 de una función definida a trozos.

Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.

Por lo tanto, la función f es continua en todo su dominio menos en x=4.


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